MATEMÁTICA - Números complexos

(Mackenzie-SP) Se y = 2x, sendo x =  e i = , o valor de (x + y)² é:

(UTFPR) O valor de  é:

(Unicap-PE) Considere as alternativas como verdadeiras (V) ou falsas (F).

a) ( ) O trinômio y = (x!)² - 5(x!) + 6 tem duas raízes inteiras distintas.
b) ( ) O logaritmo decimal do resto da divisão do número 85 430 451 237 por 9 é igual ao logaritmo decimal de 2 mais o logaritmo decimal de 3.
c) ( ) Se x e y são números reais, então  = y.
d) ( ) O logaritmo decimal de |x — 1| sempre existirá, se x .
e) ( ) Sejam z₁ = 2 - i e z₂ = 1 - i dois números complexos; então,  = (3 - 2i)/2.

(Ufam) Simplificando o número complexo , obtemos:

O afixo de um número complexo A é determinado pela figura a seguir:

Se o módulo do número complexo A é o mesmo módulo do complexo 3 + i√3, o valor que melhor determina a relação  é:

(FGV-SP) Sendo i a unidade imaginária, então (1 + i)²⁰ - (1 - i)²⁰ é igual a:

(FGV-SP) Ao tentar encontrar a intersecção do gráfico de uma função quadrática com o eixo x, um aluno encontrou as soluções 2 + i e 2 - i. Quais são as coordenadas do vértice da parábola? Sabe-se que a curva intercepta o eixo y no ponto (0, 5).

Um número complexo cuja parte real é – 5 e a parte imaginária é 8 será multiplicado por 2 + 3i. O módulo da representação geométrica desse produto estará no:

(UEA-AM) Dados z1 =  + i e z2 =  + i, pode-se afirmar que:

Encontre o valor do número complexo Z, dado por · Z – 2i · = 5 – i, sendo  o conjugado de Z. Assinale a alternativa que representa Z na forma trigonométrica.

(Uece) Um octógono regular está inscrito na circunferência representada no sistema cartesiano usual pela equação x² + y² = 16. Se quatro dos vértices do octógono estão sobre os eixos coordenados, então o produto dos dois números complexos que geometricamente representam os vértices do octógono que estão respectivamente no primeiro e no terceiro quadrantes (não pertencentes aos eixos coordenados) é: [...]

Encontre uma possível representação para o número complexo que é o produto de z = 1 + 2i e w = –(3 – i):

(Unesp) Considere os números complexos w = 4 + 2i e z = 3a + 4ai, onde a é um número real positivo e i indica a unidade imaginária. Se, em centímetros, a altura de um triângulo é |z| e a base é a parte real de z · w, determine a de modo que a área do triângulo seja 90 cm².

Qual a melhor representação para o número complexo ?

Quando se divide o número complexo z = 3 + 2i por w = 5 – i, obtém-se um número complexo (a + b) + (a – b)i. O valor do produto de a por b é:

(Uerj) Considere a equação a seguir, que se reduz a uma equação do terceiro grau:

(x + 2)⁴ = x⁴

Uma de suas raízes é real e as outras são imaginárias. Determine as três raízes dessa equação.

(Ufam) Sejam os números complexos z =  e w = 1 - i. Então o valor da expressão |z| + w⁸ será:

(Unimontes-MG) Na figura abaixo, o ponto M representa a imagem geométrica de z = a + bi.

A forma trigonométrica de z é:

Considere , sabendo-se que x é formado pela soma de duas sequências, uma finita e a outra infinita, o valor de x é:

(PUC-RS) A superfície e os parafusos de afinação de um tímpano da orquestra da PUC-RS estão representados no plano complexo Argand-Gauss por um disco de raio 1, centrado na origem, e por oito pontos uniformemente distribuídos, respectivamente, como mostra a figura:

Nessa representação, os parafusos de afinação ocupam os lugares dos números complexos z que satisfazem a equação:

Um número complexo dado como z = a + bi, com 3 < a < 5 e 2 < b < 6 será adicionado a um número . Sendo que o quadrante no plano de Argand-Gauss que o número z ocupa é n, o quadrante ocupado por z + w será:

Tomando-se z1 = 5 + 3i  e z2 = a – 2i , qual deverá ser o valor de a para que o produto z1 · z2 seja um real puro?

(UFSC — Adaptado) Assinale a(s) proposição(ões) correta(s), indicando como resposta a soma dos números associados às afirmações corretas.

01. Se 3n = 5, então log₅ 225 = .
02. Os valores reais de x que satisfazem a equação 4^x + 4 = 5 · 2^x pertencem ao intervalo (2, 4].
04. Suponha que “Chevalier de Mére”, um jogador francês do século XVII, que ganhava a vida apostando seu dinheiro em jogos de dados, decidiu apostar que vai sair um “3” no lançamento de um dado perfeito de seis faces numeradas de 1 a 6. Com relação a esse experimento, há dois resultados possíveis: ou sai “3” e Chevalier ganha, ou não sai “3” e ele perde. Cada um destes resultados – “sai um 3” ou “não sai um 3” – tem a mesma probabilidade de ocorrer.
08. Para que a função P(x) = x² + px seja divisível por 4x - 1, é necessário que p seja igual a .
16. Se a, b e c são raízes reais da equação x³ - 20x² + 125x - 250 = 0, então o valor de  é nulo.
32. Se A é o número de arranjos de 6 elementos tomados 2 a 2; B é o número de permutações de 5 elementos e C é o número de combinações de 5 elementos tomados 3 a 3, então A + B - C = 140.